CICC科普栏目｜你认识的所有素数中，大约有一半都不是素数

以下文章来源于数学家，作者數學家

在英语世界中，有句俗话：“所有素数都是奇数，除了2，它是最古怪的那个。”（ All prime numbers are odd, except for 2 which is the oddest of all.）但如果我告诉你，2不是素数，5也不是，13也不是呢？事实上，你认识的所有素数中，大约有一半都不是素数。

我想你的反应大概会在愤怒和怀疑之间，而这两种反应都很正常。虽然严格来说，我并没有对你撒谎，但我确实有些误导。你看，我说的并不是你所熟知的素数。我特指的是高斯素数。所以，让我们来探究一下。

高斯数

我们先简单回顾一下复数。你可能知道，实数是从到数轴上的所有数，包括分数和无理数，比如。在实数范围内，方程是无解的。为了解决这个问题，人们创造了复数，并将这个方程的解称为。你可能也见过把它写成。

那么，一个复数就是形如的数，其中和是实数。稍作验证就能发现，复数的乘法、除法（以及加法和减法）结果仍然是复数。例如

这对于能够定义出与素数类似的概念来说，是个好兆头。

顺便提一句，已经熟悉复数概念的人可能会感兴趣，我们可以在完全不引入这个概念的情况下定义复数。我们可以不把复数看作是，而是将其定义为有序对。“乘法”则被定义为这样一个函数：它接收和作为输入，并输出。

高斯整数是复数的一个子集。具体来说，它们就是那些和（在上面任一种复数定义中！）都是整数的复数。用更正式一点的语言表述，高斯整数就是所有构成的集合，其中都属于整数集。

既然我们已经定义了高斯整数，下一步就是要给出素数的严格定义。

素数

你可能已经知道素数的定义，即是素数当且仅当它只能被1和它自身整除。但这个定义在复数范围内不适用。事实上，它甚至在整数范围内也不完全适用。这是因为，所以唯一一个“只”被1和自身整除的整数是（所有其他的数必然也有一个因子）。

因此，我们需要一个更通用的素数定义。一个不仅适用于自然数，也适用于整数和高斯整数的定义。值得庆幸的是，数学家们早就解决了这个问题，所以素数的正式定义如下：

一个数是素数，如果对于任何，只要是的一个因子，那么要么是的一个因子，要么是的一个因子（或两者皆是）。

这里，“是的一个因子”意思是存在某个使得。

这个新定义现在就可以应用到我们的高斯整数上了！

高斯素数

综合以上所有内容，我们就得到了高斯素数的定义！它们是满足上述素数定义的高斯整数。所以，当我说2不是素数时，我是诚实的，因为我们可以取和。，所以2肯定是的一个除数。但2本身并不能整除或，因此它不可能是素数。

我们对于高斯素数的定义最终等价于：是素数，如果它唯一的因子是自身、、、和。所以，不是素数。

同样地，也不是高斯素数。那13呢？。再次证明，它不是高斯素数。

你们当中眼光敏锐的人现在应该发现了一个规律。所有这些我们通常认为是素数、但却不是高斯素数的例子，都等于。实际上，由此我们可以看出，任何能表示为两个平方数之和的素数都不是高斯素数。

这时，我们的老朋友皮埃尔·德·费马就出现了。尽管他最著名的是以他命名的“费马大定理”，但他也有一个关于两平方数之和的定理。这个定理指出：一个奇素数可以写成两个平方数之和（其中和是整数），当且仅当是比4的倍数多1的数。

因此，我们就得到了结论：任何比4的倍数多1的素数都不是高斯素数。

至于费马两平方数之和定理的证明，费马本人从未写下过。后来人们发现了多种证明方法和寻找满足的和的算法，但我就不扫你的兴了，让你自己试着去找到一个解法吧。

来源｜HLFF及网络公开信息

编译｜數學家编译小组

排版｜司徒

校对｜慧玲‍‍‍

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