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CICC科普栏目｜Doctor Curious 58：非粒子物理与非核物理简介

发表时间：2025-01-02 15:01

以下文章来源于中国科学院理论物理研究所，作者张振华

－作者简介－

张振华，中国科学院理论物理研究所21级博士毕业生

导师：郭奉坤研究员

研究方向：强子物理

对于粒子物理与原子核物理，相信大家都有所耳闻。原子核物理已经以核电的形式进入到了我们的生产和生活当中，而粒子物理近年来也活跃在各种科普文章和讲座中。特别是2012-2013年“上帝粒子”Higgs玻色子的发现，为粒子物理标准模型补齐了最后一块拼图。本文将介绍的非粒子（unparticle）物理和非核（unnuclear）物理，可能就不为大家所熟知了。这里的非粒子与非核并不是指粒子物理与原子核物理以外的如凝聚态物理、原子分子光学、引力与宇宙学、天体物理等其他物理方向，而是指粒子物理中与传统粒子图像非常不同的一种粒子存在形式。

图1: 相互作用场论中典型的Källén-Lehmann谱密度函数 $\rho(M^2)$ 示意图。

由于粒子物理涉及到的尺度太小，我们对于粒子的概念基本是一些看不见摸不着的抽象小球。粒子物理是通过粒子在不同变换下的变换规律去描述和理解粒子的。比如我们通过在空间平移去观测、旋转不同角度去观测、在不同速度的惯性参考系中去观测、在不同时间去观测等，得到粒子的变换规律，进而对粒子进行分类描述。记录粒子在不同变换下性质的数就是量子数，例如质量、自旋等[1]。在数学中，这些变换构成庞加莱群（Poincaré group），粒子构成庞加莱群的不可约表示。描述基本粒子间相互作用规律的标准模型在庞加莱群的变换下是不变的。除庞加莱群变换外，还有一种变换在物理中也发挥着重要作用，即标度（scale）变换，也就是伸缩变换。在凝聚态物理中，一些二级相变在相变临界点就具有标度变换不变性，对应重整化群方程的非平庸红外不动点（即标度无关的解）。而在粒子物理的标准模型中，很多粒子都具有质量，在标度变换下，质量会发生变化，因此标准模型不具有标度变换不变性。2007年，哈佛大学理论物理学家Howard Georgi提出在标准模型之外还可能存在满足标度不变性的一个隐藏区（hidden sector）[2],构成共形群（包含标度变换和庞加莱子群的一个群）的不可约表示。这个区是具有非平庸红外不动点的高能理论在低能时流向红外不动点的体现。由于标度不变性，这个区不像传统粒子一样有确定的质量和质能关系，而是由所谓的非粒子构成，记为 $\mathcal{U}$ 。非粒子可以与标准模型中的粒子发生相互作用，从而可以在对撞机物理中产生一些新奇的现象。

在量子场论中，粒子的概率密度分布可以由Källén-Lehmann谱密度函数给出。相互作用场论中典型的谱密度函数形式为

$\begin{align} \rho(M^2)=Z\delta(M^2-m^2)+\theta(M^2-4m^2)\hat{\rho}(M^2) , \label{eq:KLS_F} \end{align}$ 其中第一项对应质量为 $m$ 的单粒子态，第二项表示当不变质量 $M$ 大于两粒子阈值 $2m$ 时可以产生的两粒子乃至多粒子连续谱，如图1所示。其中在两粒子阈值下方也可能有束缚态的存在。对于非粒子 $\mathcal{U}$ ，Georgi[2]指出由于标度不变性的限制，非粒子的谱密度函数为连续谱，即

$\begin{align} \rho_{\mathcal{U}}(M^2)=A_{d_{\mathcal{U}}}\theta(M^2)(M^2)^{d_{\mathcal{U}}-2}. \tag{2} \end{align}$ 其中 $A_{d_{\mathcal{U}}}$ 为比例系数， $A_{d_{\mathcal{U}}}$ 为非粒子的标度量纲（scaling dimension），描述了非粒子的标度变换性质，可以取为非整数。从该谱函数中可看出非粒子满足不确定的色散关系（质能关系） (本文采取自然单位制，即 $\hbar=c=1$ 。)，与传统单粒子的色散关系 $P^2=(P^0)^2-\boldsymbol{P}^2=m^2$ 有明显的不同。Georgi[2]进一步指出该谱函数的形式与 $d_{\mathcal{U}}$ 个无质量粒子的相空间相同[3]，所以非粒子可视为 $d_{\mathcal{U}}$ 个无质量粒子的集合。由于 $d_{\mathcal{U}}$ 可以不为整数，所以在非粒子意义上我们可以谈论分数个粒子。与非粒子的谱密度函数相关的另一个有趣的量是它的两点传播子，即从一个点传播到另一个点的概率幅。利用两点传播子 $iD(p^2)$ 与谱密度函数的关系
$\begin{align} iD(p^2)=\int_0^\infty \frac{\mathrm{d}M^2}{2\pi}\rho(M^2)\frac{i}{p^2-M^2+i\varepsilon}, \tag{3} \end{align}$ 可得标量非粒子的传播子为[4]
$\begin{align} iD_{\mathcal{U}}(p^2)=\frac{iA_{d_{\mathcal{U}}}}{2\sin(\pi d_{\mathcal{U}})}(p^2)^{d_{\mathcal{U}}-2}e^{-i(d_{\mathcal{U}}-2)\pi}. \tag{4} \end{align}$ 该传播子可视为一系列质量连续分布的共振态的传播子之和[4,5]。与式(1)给出的经典单粒子传播子 $iD(p^2)=iZ/(p^2-m^2+i\varepsilon)$ 相比，对于类时过程 $p^2>0$ ，该传播子在 $d_{\mathcal{U}}$ 为非整数时有一个非平凡的复相位 $-id_{\mathcal{U}}\pi$ 。当一个过程可以通过交换标准模型粒子和非粒子发生时，该复相位可能导致独特的干涉行为。

图2: 包含非粒子交换的Drell-Yan过程末态轻子对不变质量谱与标准模型预言不变质量谱的相对偏差。图片取自文献[6]。

图3: 非粒子衰变的末态事例数随 $\mu$ 的变化。紫色实线：快速衰变的事例数。蓝色点虚线：单喷注信号的事例数（遗失能量）。蓝绿色虚线：非粒子衰变的可探测事例数。图片取自文献[6]。

Georgi[4]首次以 $e^+e^-\to \mu^+\mu^-$ 为例分析了交换非粒子时可能产生的干涉效应，讨论了截面相对标准模型的结果的偏差。这种干涉效应在Drell-Yan（ $q\bar{q}\to l^+l^-$ / $gg\to l^+l^-$ ）过程中也有显著体现[7]。图2给出了包含 $Z$ 交换与非粒子交换的Drell-Yan过程中末态两轻子 $l^+l^-$ 不变质量谱与标准模型结果的相对偏差，可以看到该偏差对于标度量纲 $d_{\mathcal{U}}$ 非常敏感，且在轻子对不变质量 $M_{ll}$ 偏离 $Z$ 玻色子质量时有显著的增大。除了作为中间态出现在一些初末态为标准模型粒子的散射过程中，非粒子也可以出现在衰变或散射末态。非粒子不确定的色散关系导致即使对于两体衰变过程 $1\to 2+\mathcal{U}$ ，反冲粒子 $2$ 的能量和动量也是不确定的。典型的非粒子产生过程有单喷注产生如 $gg\to g \mathcal{U}$ 以及单光子产生如 $e^+e^-\to\gamma \mathcal{U}$ 等。文献[6]指出非粒子和标准模型粒子耦合之后也可以发生衰变，根据其寿命的长短可能在探测器中产生不同信号。非粒子与Higgs粒子发生耦合时，Higgs场的非零真空期望值会破坏非粒子的标度不变性，将其传播子修正为[8,9,10]

$\begin{align} iD_{\mathcal{U}}(p^2)=\int_0^\infty \frac{\mathrm{d}M^2}{2\pi}\rho_{\mathcal{U}}(M^2)\frac{i}{p^2-\mu^2-M^2+i\varepsilon}, \tag{5} \end{align}$ 其中 $\mu$ 是和Higgs场真空期望值相关的一个动量标度。非粒子和其它标准模型粒子的耦合可以给传播子带来额外的自能修正，使非粒子具有衰变到标准模型粒子的宽度。以单喷注产生过程 $gg\to g\mathcal{U}$ 为例，非粒子 $\mathcal{U}$ 可以通过 $\mathcal{U}\to gg$ 与 $\mathcal{U}\to \gamma \gamma$ 过程发生衰变。若非粒子 $\mathcal{U}$ 寿命较长，在探测器之外衰变，则探测器探测到的是单喷注信号，非粒子表现为遗失能量。若非粒子在被探测到之前就衰变，但其寿命大于探测器的时间分辨率，则其衰变过程可以被探测到，实验将观测到的其衰变产生的共线光子和单喷注以及伴随产生的硬喷注。若非粒子寿命很短，小于探测器的时间分辨率，则非粒子在产生后会立刻衰变，实验上将探测到两个光子和一个硬喷注。非粒子寿命长短对应的不同末态事例数随能标 $\mu$ 的变换如图3所示。非粒子的寿命随 $\mu$ 的增大而减小，对于中间大小的 $\mu$ ，非粒子的衰变过程更可能被探测到。更多关于非粒子的唯象和理论研究可以参考综述文章[11,12]与引用它们的相关文章。

尽管非粒子相关的现象学有较多的理论研究，目前的对撞机实验中还未观测到来自非粒子的信号[13,14,15]。2021年，Hans-Werner Hammer与Dam Thanh Son[16,17]指出在低能核物理与强子物理中也存在一种“非相对论的非粒子”，构成薛定谔群（Schrödinger group）[18,19,20]，即非相对论共形群的不可约表示。与尚未发现实验证据的相对论非粒子不同，在一定的近似下，非相对论的非粒子在自然界中是存在的。低能的两体核子/强子相互作用主要由两个参数描述：核子散射长度 $a$ 以及相互作用有效力程 $r_e$ 。散射长度决定了低能散射截面近似为 $\sigma=4\pi a^2$ ，有效力程包含了粒子间相互作用力程的信息，决定了散射截面的主要能量依赖。如果两散射粒子之间的相互作用为吸引相互作用，且吸引强度足以形成束缚态，则散射长度可以远远大于相互作用粒子的尺度以及它们之间的相互作用力程。特别是当两粒子形成的束缚态束缚能趋于 $0$ 时，散射长度会趋于无穷。在散射长度趋于无穷且其他尺度如粒子大小与相互作用有效力程远小于散射长度时，两粒子间的相互作用（散射振幅）具有近似的标度不变性，散射长度趋于无穷的点是低能非平庸的红外不动点。两散射粒子在该红外不动点处的行为可以用非相对论共形场论[21]描述。因此当相互作用的多个核子/强子系统的相互作用转移动量尺度（转移动量倒数 $1/q$ ）远小于散射长度且远大于有效力程时，该多粒子系统可以视为非粒子。对于约化质量为 $\mu_N$ 的两粒子系统，该范围对应的散射能量区间为 $[1/(\mu_N a^2),1/(\mu_N r_e^2)]$ ，可视为低能核子/强子相互作用的共形窗口（conformal window）。与相对论的非粒子性质只由标度量纲 $d_{\mathcal{U}}$ 决定不同，薛定谔群的结构决定了非相对论的非粒子性质由其质量 $M_{\mathcal{U}}$ 以及标度量纲 $\Delta$ 确定。

利用非相对论共形场论可以给出非粒子 $\mathcal{U}$ 的传播子为[16]
$\begin{align} iG_{\mathcal{U}}(p^0,\boldsymbol{p})=-iC_{\mathcal{U}}\left(\frac{2\pi}{M_{\mathcal{U}}}\right)^{\frac{3}{2}}\Gamma\left(\frac{5}{2}-\Delta\right)\left(\frac{\boldsymbol{p}^2}{2M_{\mathcal{U}}}-p^0\right)^{\Delta-\frac{5}{2}}, \tag{6} \end{align}$ 其中 $\Delta\geq 3/2$ ， $\Delta=3/2$ 对应的是非相对论的单粒子传播子。
非粒子的谱密度函数与传播子虚部成正比，
$\begin{align} \rho_{\mathcal{U}}(p^0,\boldsymbol{p})\propto\mathrm{Im}G_{\mathcal{U}}(p^0,\boldsymbol{p})\sim \begin{cases} \delta\left(p^0-\frac{\boldsymbol{p}^2}{2M_{\mathcal{U}}}\right),&\Delta=\frac{3}{2}.\\ \left(p^0-\frac{\boldsymbol{p}^2}{2M_{\mathcal{U}}}\right)^{\Delta-\frac{5}{2}}\theta\left(p^0-\frac{\boldsymbol{p}^2}{2M_{\mathcal{U}}}\right),&\Delta>\frac{3}{2}. \end{cases} \tag{7} \end{align}$ 可以看到 $\Delta=3/2$ 对应的即为非相对论单粒子谱，给出非相对论粒子色散关系 $p^0=\boldsymbol{p^2}/(2M_{\mathcal{U}})$ ； $\Delta>3/2$ 对应的是连续谱，满足不确定的色散关系 $p^0-\boldsymbol{p}^2/(2M_{\mathcal{U}})\geq 0$ ，与相对论情况类似。此时传播子也有非平凡相位因子 $e^{-i(\Delta-\frac{5}{2})\pi}$ 。该谱密度正比于 $N=\frac{2}{3}\Delta$ 个非相对论粒子的相空间，当 $\Delta=3/2$ 时即对应单粒子相空间。注意这里 $N$ 也可取非整数，因此非相对论的非粒子可视为非整数 $N$ 个总质量为 $M_{\mathcal{U}}$ 的非相对论粒子的集合。

右：两中子与三中子形成的非核的产生过程。中：非核产生过程中的末态不变质量谱的标度行为。左：两中子与三中子在简谐势阱中的基态束缚能。图片取自文献[17]。

前面已经提到非相对论的非粒子在自然界是近似存在的，只需满足粒子相互作用的低能散射长度远大于系统中如粒子大小与有效力程等的其他标度。中子-中子散射长度 $|a_{nn}|\simeq 19$ fm，远大于中子的尺度（约1 fm）以及中子相互作用有效力程 $r_{nn}\simeq2.3$ fm。因此Hans-Werner Hammer与Dam Thanh Son[16,17]指出多个相互作用中子组成的系统在其共形窗口内就是非相对论非粒子的一个良好近似。这种由原子核或核子形成的非粒子称为非核（unnucleus）。对于两中子形成的非核，其散射动能的共形窗口约为 $[0.1,5]$ MeV。非核的独特性质也可以带来丰富的现象学，最典型的是非核的产生过程 $A_1+A_2\to B+\mathcal{U}$ 。对于多个中子形成的非核，利用光学定理可知末态 $N$ 个中子的不变质量谱在共形窗口内的能量依赖满足标度率[16,17]
$\begin{align} \frac{d\sigma}{dE_{Nn}}\sim (E_{Nn})^{\Delta-\frac{5}{2}}. \tag{8} \end{align}$ 其中的标度量纲 $\Delta$ 可以利用 $N$ 个中子束缚在圆频率为 $\omega$ 的简谐势阱（harmonic trap）的束缚能求出。 $N$ 个中子在简谐势阱中的（基态）束缚能即为 $E=\Delta \omega$ 。因此可以利用超冷原子实验对非核物理进行模拟研究[16,17]。两中子和三中子形成非核的产生过程及其对应的在简谐势阱的基态束缚能如图(4)所示。利用束缚能得到的两中子和三中子非核的标度量纲分别为 $\Delta_{2n}=2$ 与 $\Delta_{3n}=4.27$ ，因此相应的不变质量谱具有标度行为 $d\sigma/dE_{2n}\sim E_{2n}^{-0.5}$ 与 $d\sigma/dE_{3n}\sim E_{3n}^{1.77}$ 。在共形窗口内，这些标度行为和核物理的理论预言结果吻合得很好[16]。

非核物理和奇特强子态也可能存在密切的关系。奇特强子态是超出经典夸克模型中重子和介子构型的强子。自2003年以来，实验上在粲偶素能区发现了大量的奇特强子态候选者，且它们的质量大多都非常靠近一对重强子的质量之和（也称为强子对的质量阈值）。一个重要例子是2003年由日本的Belle实验首次发现的类粲偶素 $X(3872)$ [22]，其质量非常接近一对正反粲介子 $D^{0}\bar{D}^{*0}$ 的阈值，2020年LHCb利用Breit-Wigner参数化从 $J/\psi\pi^+\pi^-$ 末态不变质量谱中抽取的 $X(3872)$ 与 $D^0\bar{D}^{\ast0}$ 阈值的质量差 $\mathcal{B}_X=M_{X(3872)}-M_{D^0}-M_{D^{\ast 0}}$ 为与 $\mathcal{B}_X=(-0.12\pm 0.13)$ MeV[23]。目前较多的研究认为 $X(3872)$ 内含有较大的 $D^0\bar{D}^{\ast 0}$ 束缚态成分（可参考综述文章[25]），因此 $D^0$ 与 $\bar{D}^{\ast 0}$ 的低能散射应具有较大的相互作用散射长度，它们组成的系统也是非相对论非粒子的候选者。Eric Braaten与Hans-Werner Hammer[26]对正反中性粲介子组成的非粒子进行了研究，并给出了非粒子产生过程中末态不变质量谱所满足的标度率。

目前对于非核物理的唯象研究依然较少，非粒子与奇特强子态之间更深层次的关系还有待进一步研究。

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