CICC科普栏目｜“群”支撑现代数学，它的工作原理通俗易懂

整数与三角形的对称性有什么共同点？在19世纪，数学家们发明了“群”来作为这个问题的答案。

数学始于数字——清晰、具体、直观。然而在过去的两个世纪里，它已经变成了一个更加抽象的领域。在这条道路上迈出的第一步是在18世纪末和19世纪初。它涉及到一个叫做群论的领域，它改变了我们所知的数学——无论是理论还是应用。

群概括了整数的基本属性。它们已经改变了几何学、代数学和分析学——即数学对平滑变化函数的研究。它们被用来加密信息和研究病毒的形状。物理学家依赖它们来统一自然界的基本力：在高能量下，群论可以用来展示电磁力和核子力以及引起放射性的力都是单一基础力的不同表现。

“群”这个词在数学语境中的创造者是伽罗瓦（Évariste Galois），一位法国天才，当时只有18岁。两年后，他在一场决斗中丧生，但已经改变了数学历史的进程。但他并不是独自发现群的。“这不是一群数学家某天聚在一起说，‘让我们创造一个抽象结构只是为了好玩’。”伦敦格雷沙姆学院的群论学家Sarah Hart说。“它是在19世纪的大约50年里逐渐出现的，这些是正确的规则要求。它们给你最大的灵活性和普遍性，同时仍然允许你证明事物。”

Évariste Galois在青少年时期帮助奠定了群论的基础

群是一个集合，或一系列对象，以及一个操作，它接受两个集合元素对象与一个操作并输出第三个元素。可以说最简单的例子是整数集合的加法操作。群必须满足四条规则。

第一条叫做封闭性：“加”任何两个整数，你会得到另一个整数。

第二条规则叫做结合律：如果你“加”三个数字，结果不取决于你如何组合它们。你可以先加3和4得到7，然后加5得到12。或者你可以加3到4和5的和。无论如何，你都会得到相同的答案：12 = (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5)。

第三条规则是群必须包含一个元素，它使其他群元素保持不变，称为恒等元素。数字零是加法的恒等元素，因为给一个数字加上零不会改变那个数字。

最后，每个群元素必须有一个逆元素——加一个元素和它的逆元素，你会得到恒等元素。在整数中，一个数字的逆元素是它的相反数（opposite number）。例如，3 + (-3) = 0。

要理解这四个属性的重要性，比如省略掉“交换性”是有帮助的。当你加两个数字时，你可以改变顺序而不影响结果：3 + 5 与 5 + 3 是相同的。这个属性叫做交换律。但群没有要求是交换的。通过使这个属性成为可选择属性，数学家们已经能够探索更多丰富多样的结构。

举一个非交换群的例子，考虑一个标有角的等边三角形。如果你将三角形旋转三分之一圈或者沿着它的垂直轴翻转，图像唯一会改变的是标签的位置。有六种这样的变换可以保持形状不变，称为三角形的对称性。它们形成了一个名为D6的群。（更一般地说，D2n是由具有n边的规则形状的对称性形成的群，所以D8是正方形的对称性群。）

左边是旋转对称，两次回到初始态。右边是反射对称，三次回到初始态。

自身对称，一次。

要“加”两个对称性，只需依次进行。你很快就会发现D6不是交换的：先翻转再旋转会使标签处于与先旋转再翻转不同的位置上。

D6 是仅有的两个六元素群之一。对于另一个六元素群的例子，取集合 {0, 1, 2, 3, 4, 5}。对于操作，以通常的方式加两个数字，然后除以6，忽略商但保留余数。所以 3 和 5 得到 2，因为 8 除以 6 的余数是 2。这被称为模6加法，该群被称为 Z6。一般来说，Zn 是一个由数字 {0, 1, 2, 3, …, n − 1} 以及模n加法得到的n元素群。与 D6 不同，Z6 是交换的，因为 3 + 5 = 5 + 3，以此类推。

Z6 和 D6 有不同的结构。不仅一个是交换的而另一个不是，而且你可以只使用 Z6 的一个元素，数字1，来生成 Z6 的任何元素：从1开始，然后不断加1。在 D6 中，没有元素具有这个属性。弄清楚群的可能结构是过去一个世纪代数中的中心目标之一。

为了做到这一点，数学家们试图识别群内包含的较小群，称为子群。这些必须保留用于整个群的操作。例如，偶数整数在整数中形成一个子群。一个偶数整数加上另一个偶数整数总是得到另一个偶数整数。另一方面，奇数不是子群，因为如果你加两个奇数，你会得到一个偶数。恒等元素总是单独形成一个子群，称为平凡子群。

弄清楚一个群包含哪些子群是理解其结构的一种方式。例如，Z6 的子群是 {0}, {0, 2, 4} 和 {0, 3} —— 即平凡子群、2的倍数和3的倍数。在 D6 群中，旋转形成一个子群，但反射不形成子群。这是因为连续执行两次反射会产生一个旋转，而不是一个反射，就像加两个奇数会得到一个偶数一样。

某些类型的子群称为“正规子群"，对数学家特别有帮助。在交换群中，所有子群都是正规的，但这种情况并不总是普遍适用。这些子群保留了交换性的一些最有用的属性，而不必强制整个群是交换的。如果能识别出一系列"正规子群"，群就可以像整数可以分解成质数的乘积一样被分解成组件。

没有正规子群的群称为简单群，不能再进一步分解，就像质数不能被分解一样。当 n 是质数（prime number）时，Zn 群是简单的 —— 例如，在 Z6 中，2和3的倍数形成正规子群。

然而，简单群并不总是那么简单。“这是数学中最大的误称。”哈特说。1892年，数学家奥托·霍尔德提议研究人员汇编一个完整的所有可能的有限简单群的列表。（像整数这样的无限群形成了它们自己的研究领域。）

事实证明，几乎所有有限简单群要么看起来像 Zn（对于 n 的质数值），要么属于另外两个家族之一。还有26个例外，称为散在群。确定它们，并证明没有其他可能性，花了超过一个世纪的时间。

最大的“散在群”，恰当地被称为“怪物群”，是在1973年被发现的。它有超过8×10^54个元素，代表了在近20万个维度的空间中的几何旋转。“人类竟然能找到这个东西，真是疯狂。”哈特说。

到了1980年代，霍尔德所呼吁的大部分工作似乎已经完成，但很难证明没有更多的散在群潜伏在外。1989年，当社区在1980年代早期的一个800页证明中发现漏洞时，分类工作进一步延迟。一个新的证明最终在2004年发表，完成了分类。

现代数学中的许多结构——例如环、域和向量空间——是在群的基础上添加更多结构时创建的。在环中，你可以进行乘法以及加法和减法；在域中，你还可以进行除法。但在所有这些更复杂的结构之下，是那个相同的原始群概念，以及它的四个公理。

“在这个结构内，这四个规则所蕴含的丰富性，是令人难以置信的。”哈特说。

本文来源：梧桐阅览