十八世纪的德国，落后的经济、政治与繁荣的文学、艺术和哲学（包括自然哲学）形成了鲜明的对照。历史学家们认为，这种社会状态是由德国资产阶级的特殊状况造成的。当时的德国资产阶级反对封建专制统治，想变革德国的现状，但又缺乏力量和勇气，所以不敢釆取任何实际的革命行动，而只是用抽象的思维活动陪伴着欧洲其他国家资产阶级的革命活动。
图2 开普勒
德国的科学经开普勒（J.Kepler，1571-1630）时代的繁荣之后长期停滞不前，到十八世纪下半叶开始复苏时，它是跟思辨哲学紧密相联的。当时出现了一批才华横溢的自然哲学家，他们在实验科学无法科学地解释自然现象及其相互之间的联系时，以抽象的思辨原则为基础，提出了颇有系统的关于自然界全貌的理论。用想象来填补实验科学的空白容易导出虚妄之说，但由于他们特别善长使用分析事物内部矛盾的方法去研究事物，因而产生了不少天才的思想。康德（I.Kant）的《宇宙发展史概论》（1755）就是一例。他在此书中认为，对立的引力和斥力的相互作用是万物存在的条件，提出有关宇宙起源的星云假说，突破了过去几个世纪中占统治地位的形而上学思维体系，有力地推动了辩证自然观的形成和发展。但是，许多自然哲学家的认识论却属于唯心论的范畴。康德一面承认在人类意识之外存在一个实物世界——“自在之物”，一面又声称这个“自在之物”是不可认识的，超验的，因而人类的知识并非导源于经验，而是先验的。他举出欧几里得几何公理和数的概念作为“先验”知识的范例。德国诗人兼自然哲学家歌德（J.W.von Goethe）形象地刻画过自然哲学家内心的矛盾：“我们固然承认我们离不开日夜区分、季节变换、气候影响…… 但我们内心里仍然感到有某种像是完全自由的意志，同时又有某种企图平衡这种自由的力量。”德国思想界流行的这种思潮，对暂时看不到跟实际联系的高度抽象的纯粹数学的兴起，无疑是一种适宜的气候。
图4 歌德
现在来看看德国的数学。自莱布尼茨（G.M.Leibniz，1646-1716）之后，德意志民族在数学舞台上默默无闻，康德可谓是再次唤起他们重视数学的先导。康德对数学是熟悉的，在1770年至1797年间，他在哥尼斯堡(Kiinigsberg)大学既讲哲学又教数学。在《纯粹理性批判》中，康德写道：“首先，我们必须认识到，数学命题永远是先验的判断而非经验的判断；因为它们本身的必然性质绝不能从经验推出来…… 不言而喻，恰恰就是那些纯数学概念，的确不曾蕴含经验而仅是纯粹先验的知识。”这种观念与当时流行的看法是相反的。
图5 莱布尼兹
众所周知，十八世纪的数学家们深深扎根于天文学、力学、工程学的土壤中，微积分这件虽不完美但却实用的武器，使他们获得了丰富成果。人们不大关心纯粹数学和应用数学的区分。但到十八世纪晚期，由于过分地把数学的发展跟力学、天文学的发展视为一体，不少数学家觉得数学领域的工作已接近穷竭。实际上，数学的发展已在其内部积累了足够多的问题需要系统化和精确化，自然科学也突破了机械力学，而跨入了流体力学、电和磁的领域。康德的上述观念，从认识论的角度看是唯心的，但对于脱开实际对象，从数学内部提出问题开展纯数学研究来说，却起了催化剂的作用。另一方面，康德以数学知识的先验性为依据，强调在一切自然科学中应用数学的重要性。他在《自然科学形而上学基础》中说：“我认为，每一门科学唯有当它进入数学的范畴时才成为真正的科学……凡有确定对象的纯自然科学(物理学或心理学)，只有依靠数学才能加以研究……”可见，他是把数学和一切自然科学紧紧联系在一起的。康德的哲学，在德国流传极广，影响很深。十九世纪的德国数学家大都受其熏陶。格廷根数学传统的确立和发展自然也受到康德哲学思想的影响；不过它吸取了其中合理的因素，而剔除了知识先验性的糟粕。1795年，十八岁的卡尔•弗里得利希•高斯(Carl Friedrich Gauss，1777—1855)到格廷根大学深造。在此之前，他已独立发现了许多初等几何、代数、数论和分析中的重要定理，包括素数定理和二次互反律。入学后，他不仅仍长于发现，而且着力于严格的证明。 比如，他给出了代数基本定理的第一个严谨的证明，严格导出了可用圆规直尺作的正多边形的条件，彻底讨论了割圆方程，引入了模整数同余的概念；证明了二次互反律……。在研究中，高斯将欧几里得在几何中的严格精神导入数论、代数和分析。对于证明，他强调简明性和优美性。1817年3月，高斯回顾二次互反律的七种证明之一时说：“高级算术的特点是：通过归纳能愉快地发现许多最漂亮的定理，但要证明它们……常常要经过多次失败，最终的成功则依赖于深刻的分析和有幸发现的某种结合…… 数学这一分支中不同理论之间的奇妙结合……”他进而认为，即使你已经得到一个证明，但就高级算术而论，你绝不能以为研究已告结束，或把寻找另外的证明当作多余的奢侈品。有时候，你开初并没得到最美和最简单的证明，而恰是这种证明才能深入到高级算术之真理的奇妙联系中去。这是吸引我们去研究的主要动力，并常能使我们发现新的真理。”这里，高斯道出了纯数学研究的一个基本思想，即寻找数学内部蕴涵的本质联系是研究数学的一个目标，而且是获得新真理的重要途径。高斯的科学素养是双重的，他的《算术研究》和成功地预测第一颗小行星位置的创举，使他在纯粹数学和应用数学领域中都享有崇高的荣誉。高斯一生中从事了天文学、大地测量学、地磁学、力学、屈光学和其他物理学的实验及理论研究，通过这些研究，他又建立了像曲面的内蕴几何学、位函数理论这些重大的数学理论。五十六岁时，他还跟韦柏 (Wilhelm Weber，1804—1891)合作发明了电报。正如数学史家斯特洛伊克(D. J. Struik) 所说，高斯在他自己的活动领域中，以最强有力的方式表达了他那个时代的新观念。如果说康德站在哲学的山巅从理念上把数学捧为一切科学真理的化身，那么，高斯是用具体和切实的创造性工作，使人们真正体验到纯粹数学的广阔前景和应用数学的无比威力。
应该指出，高斯的数学观已在康德的观念上前进了一步，他否认全部纯数学知识的先验性。在数论领域，他继续追随康德，承认“数只是我们心灵的产物”；在几何领域，他否定了康德，认为“空间确实具有超乎我们心灵以外的实在性，我们不能把它的定理说成是先验的”。高斯的这种看法可能跟他发现非欧几何有关：既然能把欧几里得几何中的一条公理改成相反的内容而导出同样和谐一致的几何，那么哪一种几何该被说成是关于同一空间表象的先验知识呢？只有用实验才能检验！格廷根有了高斯这位数学伟人，本有可能以他为中心形成一个群星灿烂的数学王国，但事实并非如此。他不喜欢教书，他的保守倾向和民族主义又阻碍他同其他数学家们进行交往，因而置身于一般的数学活动之外。因此，他的学生也就不得不另求名师：如狄里克莱(Peter G.Lejeune Dirichlet，1805-1859)远去巴黎求教于傅里叶(Fourier)、拉普拉斯 (Laplace)、勒让德(Legendre)和泊松(Poisson)；雅可比(Carl Jacobi，1804-1851)留在柏林，独自苦读欧拉、勒让德的著作；晚一辈的黎曼(Bernard Riemanh，1826-1866)则投奔柏林的雅可比等人。在这种情况下，高斯的研究成果对当时数学界的影响就不能不受到一定的限制。不过，话虽如此，由于他的著作和一些书札中所体现的深刻思想，他对德国的科学发展仍然起了不可忽视的重大作用。
1855年，高斯去世，狄里克莱继任格廷根大学数学教授。狄里克莱和雅可比是密友， 他们在创造性的数学研究中追随着高斯，在数学教育方面的成就还大大超过了高斯。前者曾在柏林军事学院执教二十七年之久，引导德国青年进入纯数学的领域；后者则是第一个创办数学讨论班这一新鲜事物的数学家。
狄里克莱在格廷根的继任人是天才而多病的黎曼。黎曼的研究风格更倾向于概念化而非算法化，对现代数学的影响不下于高斯。他的研究成果，例如将拓朴观点引入函数论，阐述数学物理中的位势理论，提出几何分类和建立新几何空间的统一原理，对ζ-函数非实数零点的猜想等，都反映了现代数学中必不可少的重要概念、方法和问题。毫无疑问，他是一位伟大的纯粹数学家；但他同样“深深地关心着物理以及数学跟物理世界的联系。黎曼写过有关热、光、气体理论、磁、流体力学和声学方面的论文。他关于几何基础的工作是为了弄清楚有关物理空间的知识哪些是绝对可靠的……据费立克司•克莱茵 (Felix klein，1849-1925)考证，黎曼的复变函数思想似乎是在研究电流沿平面流动时提出的。”黎曼还发表过关于应用数学的精辟见解。狄里克莱和黎曼虽然在格廷根推进了高斯的事业，但同样未能给它带来黄金岁月。这跟德国当时的整个数学水平有关。十九世纪上半叶，德国数学摆脱了落后局面，产生了像高斯、黎曼这样的数学家，但就一般水平而言仍不及法国。形势的根本改观发生在十九世纪下半叶。现在，让我们回顾一下十九世纪八十年代前，德国数学家在欧洲数学发展中的作用。一般认为非欧几何、群论和分析的严格化是十九世纪三项最重大的数学成就。高斯最早看出了欧几里得平行公里的独立性，但他的保守倾向使他不愿发表这一革命性的学说。俄国的罗巴切夫斯基(H.H.JIoSaneBCKHH，1792-1856)和匈牙利的鲍耶(J.Bolyai 1802-I860)分别于1830年和1832年公开发表了非欧几何著作，但在当时并未引起充分重视。最先理解其全部重要性的科学家乃是黎曼，他创立的包含各种非欧几何的统一的黎曼几何，使数学思想的这场革命逐渐获得公众的承认。群论的创始人是法国的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-1832)，他的著作于 1846 年由刘维尔(Joseph liouville，1809-1882)发表，而群论的威力和地位是经由法国的若尔当(Camille Jordan)，德国的克莱茵和在德国当了十二年教授的挪威人索福斯•李(Sophus Lie)的工作最终确立的。至于分析的严格化，始于法国的柯西(Augustin-Louis Cauchy，1789-1857)，完成于德国的魏尔斯特拉斯(K.Weierstrass，1815-1897)，后者被誉为“现代分析之父”。我们把斯特洛伊克的名著《数学简史》中十八、十九世纪两章中列名的德、法两国数学家人数作一比较(表1)，也很耐人寻味。表1 十八、十九世纪德、法两国数学家人数比较
这不仅反映了十九世纪数学蓬勃发展，数学家人数剧增的情况，而且清楚地说明，德国数学在高斯之后已赶上并开始超过法国。经十九世纪前七、八十年的发展，德国科学已处于普遍高涨的状态；数学方面也奠定了雄厚的基础，在几何、代数、数论、分析等各分支领域中出现了不少数学家。但是，这批数学家分散在德国各地大学中，一般都专攻自己较窄的专业。当此时机，要创建一个众心所向的数学研究中心，关键就在于是否有适当的领头数学家了。正是在这种情况下，格廷根迎来了光辉的克莱茵-希尔伯特(D. Hilbert，1862-1943)时代。图10 希尔伯特
2. C. C. Gillispie, Dictionary of Scientific Biography (New york, 1970)4. Reid, Hilbert (Springer ver lag, 1970)5. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (1972)6. R・ E” Moritz, On Mathematics and Mathematicians (1942)
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