人工智能与数学

以图像识别为例描述AI的任务，可以用一个函数来表示识别系统的AI。它的输入是图像，输出是识别的结果（例如规定猫为1，狗为0）。当输入图片为猫时，输出为1；当输入图片为狗时，输出0。

那怎样找到这样的一个函数呢？我们需要对函数进行某种参数化，通过算法去拟合这些参数，使得在现有数据上让机器识别猫为1，识别狗为0。

这样参数化的模型是可以用神经网络来表示。虽然其形式复杂，但在真实的场景下其实际性能表现非常好。

从数学上来讲，现在人工智能比较标志性的技术是深度学习。可以用最优控制的语言，或者用微分方程的语言来描述、刻画、分析模型和算法。这些模型和算法所涉及到很多数学问题。比如逼近理论，实际上是为了分析深度学习或者人工智能系统到底不能干哪些事情。再比如控制理论和优化理论，是为了解决能不能训练出一个模型的问题，使得AI在一个具体任务上更接近人的表现。除此之外，人工智能中的数学还包括微分方程、概率统计等等。

在图像感知中存在非常多的挑战，比如幻觉。在下面左边的图中，有A和B两个方格。人眼看起来好像A的颜色比B的颜色要深一些。实际上，如果把周围挡住，直接观察像素的灰度值，A和B的值是一样的。其实是幻觉让我们感觉A比B要暗一些。那么怎么从数学上去刻画它呢？

奥尔德森方格阴影错觉

有一个非常著名的数学家叫David Mumford，他在1974年获得了数学界的最高奖项菲尔兹奖（相当于数学界的诺贝尔奖）。他在世界数学家大会做一小时报告的时候，专门讲了怎么用数学来描述感知（perception）。

图像感知中的另外一个挑战，称为小样本学习。我们这里举个例子来说明什么是小样本学习。我们来做一个关于Steampunk的测试（来源于Rodney Brooks），首先下面的两幅图都是Steampunk：

下面我们来做测试，下面的图是不是Steampunk呢？

这些图都不是Steampunk

那这些图是不是Steampunk呢？

这些图都是Steampunk

Steampunk的中文名称叫蒸汽朋克，其实就是一种穿衣风格。这就是一个小样本学习的例子。给大家两个样本去学习，告诉你它的标签是Steampunk。之后给出的所有的图全部都是测试集。

刚才大家成功地进行了小样本学习。我也给我六岁的儿子做过同样的测试，他的识别准确率也是百分之百但是对于我们人类来说很容易的任务，对于现代的人工智能来讲，经常会出现很多问题。

小样本学习在机器学习里是一个非常重要也非常严峻的挑战。在很多科学领域（如医疗），样本通常并不是非常多。人类在做识别的时候，并不是基于大样本的，而是基于相对比较小的样本。

怎么让现在的人工智能算法能够基于很少的样本做出准确的识别呢？现在有大量的研究工作，基本上是在数据、模型和算法三个层面引入先验知识，这需要使用大量数学工具。