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CICC科普栏目｜这项数学史的伟大成就，归功于阿拉伯人

发表时间：2024-09-24 10:11

本文简要介绍代数学的早期发展，包括“代数”一词的由来、《九章算术》中的代数学内容，9世纪阿拉伯数学家花拉子密其人及其《代数学》的主要内容和影响。通过丰富的历史资料，我们能对代数学的早期历史有更全面的认识。



撰文 | 郭园园（中国科学院自然科学史研究所）

代数学是数学中最重要的基础分支之一，代数学按照发展的先后顺序可分为初等代数学和抽象代数学。初等代数学是指19世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质。19世纪末，代数学从方程理论转向代数运算的研究，揭开了抽象代数的序幕。

代数是如何起源的呢？代数之前已有算术。代数与算术主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数值。尽管古埃及、巴比伦、古希腊和古代中国等早期文明中都可以找到一些零星的代数学内容，但代数与算术在很长一段时间内是伴生在一起的。代数学发展成为一门独立的数学分支应归功于中世纪的阿拉伯人。最早的代数学著作是9世纪初阿拉伯数学家花拉子密（Muhammad ibn Mūsā al-Khowārizmī，约780－约850）的《还原与对消之书》（简称《代数学》，约820），它标志着初等代数学的诞生。




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“代数”一词的由来

事实上，今天汉语中的“代数”一词并非源自中国古典数学，而是源自花拉子密《还原与对消之书》（kitāb al-jabr wa-al-muqābala）的书名，其中的 “al-jabr”为“还原”。花拉子密将其定义为这样一种运算——将方程一侧的一个减去的量转移到方程的另一侧变为加上的量，例如5x+1=2-3x，变为8x+1=2，这就是一个“还原”过程。书名中“al-muqābala”的意思是将方程两侧的同类正项消去，例如8x+1=2化为8x=1，这就是一个“对消”过程。后世的阿拉伯数学家逐渐用“还原”一词来代替“还原与对消”，慢慢演化为今天方程化简中的移项与合并同类项。后来阿拉伯代数学传入欧洲，“还原（al-jabr）”一词演变为英文中“代数（algebra）”一词。

16世纪末，欧洲耶稣会传教士来华，揭开了明末清初西学东渐的序幕。清康熙五十一年（1712）前后，耶稣会士傅圣泽（Jean-Françoise Foucquet，1665-1741）首次将符号代数传入中国，为康熙皇帝撰写了《阿尔热巴拉新法》，其中“阿尔热巴拉”就是algebra（代数）的音译。此外，该词还有“阿尔朱巴尔”“阿尔热巴达”“阿尔热巴喇”等译法。关于上述中文译名，晚清《中西闻见录》记载：

亚喇伯国算学书，有名曰阿喇热巴尔爱阿喇莫加巴喇者，考其立名之意，即补足法，亦相消法，[阿喇者，其也，热巴尔能也，分数变为整数之算法也，莫加巴喇相对也，相比也，相等也，即互相调换意也。]历年既多，取其补足相消意，仅呼为阿尔热巴喇。

康熙之后，阿尔热巴拉被曲解为“东来法”，广为流传，为“西学东源”说张本。与此同时，康熙接受泰州进士陈厚耀（1648-1722）“请定步算诸书以惠天下”的提议，于康熙五十一年（1712）下诏开蒙养斋（蒙养斋被西方称为中国皇家科学院），并赐梅文鼎（1633-1721）之孙梅瑴成（1681-1763）举人头衔，充蒙养斋汇编官，会同允祉、允禄等开始编撰《数理精蕴》，至康熙六十一年（1722）告成。该书汇集了明末传入中国的西方数学知识，并吸收了当时中算家们的一些研究成果。《数理精蕴》下编卷31-36有“借根方比例”，介绍多项式的加减乘除法则，引入加号、减号、等号、移项等概念，以用代数方法求高次方程的解。其卷31云，“借根方者，假借根数、方数以求实数之法也”。“根数”就是未知数，“方数”就是根数的正指数幂。梅瑴成认为“借根方”的西名“阿尔热巴达”为“东来法”，它是宋元时期的“立天元一”法传播到西域之后又再次传回的产物，这样明清之际传入的西方代数学“借根方”刺激了乾嘉学者对宋元数学典籍的发掘，进而为伟烈亚力（Alexander Wylie，1815-1887年）等西方学者对中西数学文化作比较、交流和互鉴提供了可能。

自18世纪20年代起，传教士被禁止在内地传教，直至鸦片战争后被迫开埠之时，西方数学的传入基本中断，并一直延续到1850年前后。1847年，英国人伟烈亚力来到上海学习中文，1853年他用中文编写了《数学启蒙》介绍西方数学。伟烈亚力在《数学启蒙》序中说：“有代数、微分诸书在……”，这是第一次使用中文“代数”一词作为数学分支的名称。1859年，李善兰（1811-1882）与伟烈亚力合作翻译的《代微积拾级》和《代数学》刊行。其中《代微积拾级》的底本为美国数学家罗密士（E .Loomis，1881-1889）1851年所著的《解析几何与微积分》。《代数学》的底本为英国人棣么甘（Augustus De Mogan，1806-1871；该译名取自古籍，现一般译为德摩根）1835年所著的“Elements of Algebra”，译为中文时定名为《代数学》，这是我国第一本以“代数学”命名的书。书中指出“代数”二字取意“以字代数”，即以甲乙丙丁诸元代已知数，以天地人物诸元代未知数。译本中的代数术语源于中国的传统代数学天元术，但是否认“借根方”是“东来法”。《代数学》刊行后的十几年，符号代数在中国的传播并不顺利。直到1872年，华蘅芳（1833-1902）与傅兰雅（John Fryer，1839-1928）合作翻译的《代数术》刊行，西方符号代数才流行和传播开来。




02


花拉子密之前的代数学

与数字之间的算术运算相比，初等代数学的精妙之处在于处理含有未知数问题的过程通常是机械化的：首先将所求未知数设为“某物”或“某量”（今天一般设为x），并建立方程；随后在将方程化简为标准形式的过程中，这个“某物”或“某量”可以像已知数一样参与运算，例如“移项”“合并”或“对消”等，它可以取代人脑原本需要进行的复杂条件分析过程。这就好像是用算盘进行算术运算，人们利用算盘的形制、口诀和机械的拨珠可以替代大量的脑力劳动，从而可以长时间准确地计算。

有的读者朋友可能会感到好奇，早在2300年前，古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330-前275）就能在其所著的《几何原本》中解决复杂的图形问题并奠定了今天几何学的基础，为什么上述看似“简单”的代数思想却只能追溯到公元9世纪初呢？事实上，更早的古希腊、古印度和古代中国的数学文明中或多或少也都可以找到上述初等代数的内容，下面以中国古典数学中《九章算术》方程章为例。

汉代成书的《九章算术》第八章所给方程术相当于现今的线性方程组解法，是《九章算术》最杰出的数学成就之一。该章第一问提出方程术，是全章的纲，本章18道问题都要用方程术解决。第二问提出损益术，是列方程的方法。第三问提出正负术，是解决消元过程中或方程本身出现负数时的处理方法，是方程术的必要补充。

若以x, y, z分别表示《九章算术》第一问中上、中、下禾各一束的实的斗数，得到线性方程组：

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随后用直除法消元求解。所谓直除法就是整行与整行对减。此处方程的建立及消元变换采用位值制，每个数字不必标出它是什么物品的系数，而是用所在的位置表示，与现代数学中分离系数法一致。《九章算术》方程的表示，相当于列出其增广矩阵，消元过程相当于矩阵变换。例如第1问中的消元求解过程相当于今增广矩阵变换：

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最后上禾一束得实图片斗；中禾一束得实图片斗；下禾一束得实图片斗。

损益术是《九章算术》建立方程时要用到的重要方法，方程章第二问提出：损之曰益，益之曰损。“损之曰益”是说关系式一端损某量，相当于另一端益同一量；同样，“益之曰损”是说关系式一端益某量，相当于另一端损同一量。损益术相当于现今方程某项从等号一端向另一端移项，移项后改变符号。例如第二问原题有：今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实十一斗。若设上、下禾一秉之实分别为x, y，相当于给出关系：(7x-1)+2y=10。通过损益术，该方程可化为：7x+2y=11。《九章算术》方程章还引入了负数，提出正负数的加减法则，与今天的方法无异，负数的引入是数系的又一重要扩展，是中国古代的重要成就。

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《九章算术》方程章中的“损益术”

在惊叹于中国古代数学家们取得成就的同时，我们也应认识到古代数学知识跨文明传播、演化通常并不是从一个“里程碑”到另一个“里程碑”的“辉格史”过程，而是一个非常复杂且充满多元化的过程。到目前为止，没有证据表明上述中国古代代数学思想影响了花拉子密。与之类似，花拉子密《代数学》中同样没有欧几里得《几何原本》、丢番图（Diophantus，约246-330）《算术》等古希腊数学著作中的任何代数学痕迹。虽然，花拉子密《代数学》在个别问题中体现了印度数学的特点，但在语言表述、章节安排、思想呈现等方面更大程度体现出其原创性。

古代数学知识在跨文明传播、演化过程中这种非线性特点的例子还有很多。例如，15世纪初波斯数学家阿尔·卡西（al-Kāsh，约1380-1429）利用三次方程数值解求出sin1°任意精度值从而提高正弦表精度，但这种算法并未传入欧洲。16世纪中叶，奥地利数学家雷蒂库斯（Rheticus，1514-1574）开始致力于求解高精度正弦表，直至半个世纪后德国数学家毕的斯克斯（Pitiscus，1561-1613）才在1595年出版的《三角法》一书中达到了近200年前卡西的成就。1631年，德国传教士邓玉函（Jean Terrenz，1576-1630）以《三角法》为底本编写《大测》传入中国时，并未将上述算法写入《大测》；直至1722年《数理精蕴》中，中国数学家才经过独立探究并掌握上述算法，但此时距卡西解决此问题已过去300年。




03


花拉子密的生平与《代数学》的主要内容


花拉子密的生平信息很少，这种情况在古代著名数学家中并不是个例，比如古希腊数学家欧几里得、中国古代数学家刘徽（公元3世纪）、贾宪（11世纪）等人的生平信息也很少。花拉子密全名——穆罕默德·本·穆萨·花拉子密（Muhammad ibn Mūsā al-Khowārizmī），根据阿拉伯人名字的特点，他的名字应叫穆罕默德。其中“本”是儿子的意思，所以“本·穆萨”表明他的父亲叫穆萨。最后一个单词表明他来自中亚花剌子模地区，但是他的父辈们或是更早的祖先何时来到巴格达，我们一无所知，只知道他生活在巴格达且没有去过其他地方。花拉子密共有12部著作，这些作品题材广泛，包括数学、天文学、年代学、地形学和历史。他的数学著作除了《代数学》以外，还有一本名为《印度算术书》的著作，该书在阿拉伯世界首次系统地介绍了印度十进位制记数法以及相关计算方法。

之所以能够在9世纪初的阿拉伯地区产生像花拉子密这样伟大的科学家绝对不是偶然的，这是政治、经济、文化等多方面因素共同作用的结果。据推断花拉子密出生在公元8世纪的最后一个十年，并在当时学风盛行的巴格达接受教育。阿拔斯王朝第七任哈里发马蒙（al-Ma’mūn，813-833）在巴格达修建了“智慧宫”并开启了“百年翻译运动”。花拉子密在这一时期被邀请到“智慧宫”工作，完成了《代数学》并在该书序言中表达了对马蒙的尊敬与感激。直至第九任哈拉法瓦希克（al-Wāthiq，842-847在位）去世的公元847年，花拉子密仍在世。

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1983年发行的花拉子密纪念邮票

花拉子密《代数学》正文分四部分：一元二次方程理论、商贸问题（三率法）、几何度量问题、遗产问题。该书开始部分便介绍了由根（即一次项）、平方（即二次项）及数（即常数项）组合成的六种类型的标准方程：

1、平方等于根（ax2=bx）；

2、平方等于数（ax2=c）；

3、根等于数（bx=c）；

4、平方与根之和等于数（ax2+bx=c）；

5、平方与数之和等于根（ax2+c=bx）；

6、根与数之和等于平方（ax2=bx+c，以上a, b, c＞0）。

花拉子密在构造方程时，仅考虑有正根的方程，化简得到的标准形式方程必然为一些正项之和等于另外一些正项之和。在保证方程存在正根的前提下，上面六种方程与今一元二次方程的标准形式ax2+bx+c=0(a, b, c∈R)是等价的。前三种类型方程解法较简单，对于后三种类型方程，花拉子密首先将二次项系数化为1，然后用文字语言详尽阐明其求根公式，例如第五种方程相当于：

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同时花拉子密还针对每种类型方程求根公式给出了对应的几何证明，例如第五类方程的例题用符号表示为：x2+21=10x。若0＜x＜5，正方形ABCD的面积为x2，矩形ABNH的面积21，矩形DCNH的面积表示10x，CN=DH=10。把CN, DH分别平分，中点分别为T, G，将矩形ABTG移至HMLR的位置。此时有SMKTN-SABNH=SLKGR，即：图片，故图片，这证明了x2+c=bc(b＞0, c＞0)的第一个根求根公式图片的正确性。

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花拉子密《代数学》（1342年版）

前面所列是6个标准形式方程，但是根据题意列出的方程通常形态各异，所以花拉子密接下来给出了方程化简的方法，即简单的整式运算法则。全书第二、三部分——商贸问题和几何度量问题的篇幅非常简短，最后用了全书一半的篇幅来阐述58道与伊斯兰遗产法有关遗产继承问题，它们本质上是复杂的一元一次方程。下面以第一题为例，这也是最简单的一道：

一个人去世后留下两个儿子，并将其总遗产的三分之一遗赠给一个陌生人。他留下十迪拉姆的遗产，且有一个儿子欠了父亲的债务，他将不会享有这十迪拉姆（中的任何部分）。


一个儿子欠了父亲的债务，设这个儿子的债务为x，将其加父亲留下的财产后进行分配，则总遗产为10+x。这个儿子所得的遗产与其原有的债务相抵消，则有：图片，陌生人得到5迪拉姆，其中一个儿子得到5迪拉姆，另一个有债务的儿子所得遗产与原有债务抵消。对伊斯兰遗产法中规定的复杂遗产分配问题进行代数求解的行为，体现了当时数学与宗教良好的伴生关系，事实上这种伴生关系贯穿了整个中世纪伊斯兰数学发展的黄金期。与之类似的，信徒寻找面向麦加城精确方向进行祷告而产生的“奇伯拉”问题，促进了阿拉伯三角学的快速发展。宗教中的重要问题为数学提供了发展的动力，同时赋予了数学更高的威信与地位，这些都体现了数学在发展过程中多元化的文化特点。




04


花拉子密《代数学》的深远影响

对于第一次阅读花拉子密《代数学》的读者而言，它似乎并没有给人眼前一亮的感觉。这并不是一本鸿篇巨制，而是略显单薄的小册子；书中也没有复杂的难题，今天的初中生阅读起来也毫无障碍；书中没有代数符号，全部用文字语言表述，给人一种“原始”的感觉。但是由于其中明确的方程思想阐释、实用价值和官方背景，该书很快便获得了巨大的关注。与花拉子密同时期以及稍晚的许多数学家均参与到《代数学》的深入讨论中，例如同时期的伊本·吐克（ibn Turk，9世纪人）补充了花拉子密证明一元二次方程求根公式正确性的几何证明；稍晚些的塔比·伊本·库拉（Thabit ibn Qurra，826-901）首次将欧几里得《几何原本》与花拉子密《代数学》进行深入比较研究；阿布·卡米尔（Abū Kāmil，约850-约930）全面继承并且发展了花拉子密的代数学思想。一方面伊本·吐克、塔比·伊本·库拉、卡米尔等人的工作进一步明确了花拉子密的代数学思想，并为后世阿拉伯数学家在方程的化简和求解领域提供了更宽广的研究视角和更丰富的研究内容；另一方面，正是由于参与了花拉子密《代数学》的研究而使得上述数学家的名字都刻在了数学史的“功绩簿”上。

花拉子密所著《代数学》书中的“还原与对消”方法作为代数学的基本特征被长期保留下来，同时该书基本确定了后世阿拉伯代数学中方程化简与方程求解这两条主要的发展脉络。首先在方程化简领域取得突破性进展的是卡拉吉（al-Karaji，953-约1029），他的工作使得代数学进一步“独立”， 相当于系统地将加、减、乘、除、比例和开方这几种基本算术方法应用于代数表达式。随后的萨马瓦尔（al-Samaw’al，约1130-约1180）进一步发展了凯拉吉的理论。最终，这种源于方程化简过程中的基本运算步骤及简单的算术方法在阿拉伯数学家们的努力下发展成一套相对完备的理论。

花拉子密、塔比·伊本·库拉、卡米尔等数学家们在一元二次方程的代数解、几何解、数值解等方面已经得到相对完备的成果。而首先在一般高次方程求解领域取得突破性进展的是奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam，1048-1131）。海亚姆最大的贡献在于他对一元三次方程给出了基于希腊数学知识的几何解法，本质上是利用圆锥曲线交点对方程的解进行定性描述。首先在一般三次方程数值求解领域取得突破性进展的是萨拉夫·丁·图西（Sharaf al-Dīn al-Tūsī，约1135-1213），这为后世数学家进行高精度数值求解奠定了基础。

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海亚姆求解x3+c=bx图示（抛物线与双曲线的交点表示方程的根）

花拉子密的《代数学》于12世纪被翻译为拉丁文并在欧洲开始传播。花拉子密的拉丁文译名后来逐渐演变为algorism和algorithm这两个英文单词，前一个单词是“阿拉伯记数法”；后一个单词成为数学中的专有名词“算法”，即解决某种问题的特定的计算步骤。

13世纪初，意大利数学家斐波那契（Fibonacci，约1175-约1250年）在代表作《计算之书》讲述了卡米尔书中的代数学内容，其中第406页边注中提到Maumeht（即穆罕默德），以明确表示二次方程的解法出自花拉子密。从13世纪开始，欧洲科学奋斗的原点就在于消化吸收并超越斐波那契等学者的著作。随后，许多欧洲数学家也被阿拉伯代数学吸引，并一直致力于寻找一般三次方程的代数解公式。1545年，意大利数学家卡尔达诺（Cardano Girolamo，1501-1576）在德国纽伦堡出版了一部关于代数学的拉丁文著作《大术》，一般三次方程和四次方程的求根公式终于公之于众，这也标志着欧洲人真正接过阿拉伯人传过来的数学接力棒。欧洲数学家们经过不懈的努力，于19世纪初最终证明了一般五次方程没有代数解，开启了近世代数的研究。19世纪初，中世纪的阿拉伯数学引起了欧洲数学史家们的关注，花拉子密《代数学》先后被翻译为英语、法语、俄语等。

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2020年笔者出版的花拉子密《代数学》中译本

参考文献

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本文来源：返朴 微信公众号


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